感受

先说感受，还就是那个崭新出厂，所以考试前三天才开始学非常痛苦，因为这书真的看不下去

数论部分概念比较简单，但是涉及的计算很多，学到原根解方程那块才知道很多难的点考试是不会考的

抽代部分看书已经看不懂了，建议配合哈工大的网课食用基础概念，考试会考多项式环那块的简单证明和简单计算，其他就是证明了

那那么多证明我哪知道考哪些？会有透题的，或许是自己老师，或许是别的老师，总之保持消息畅通

最后综测80，3.0，算是很满意的成绩了，虽然考试期间有两道计算题我铸币了，算错了好几次最后还是放弃了。

第一章 整数的可除性

欧几里得除法

最大公因数

所有公因数中最大的那个整数，记作 ( a1，…，an )

最小公倍数

所有公倍数中最小的那个正整数，记作 [ a1，…，an ]

整除的进一步性质

① 若 c ab、(a，c) = 1，则 c b
② 若 p 是素数，p ab，则 p a 或 p b
③ 若 a₁，a₂，…，an 是 D 的公倍数，则 D [ a1，…，an ]

真因数

不包括这个数本身的所有因数，例如 6 的真因数是 1、2、3

整数分解定理

若 n a² - b²，n 不整除 a+b、a-b

则 (n，a+b)、(n，a-b) 是 n 的真因数

π (x)

表示不超过 x 的素数个数，例如 π (2) = 1，π (10) = 4

素数定理

lim(x->∞) π(x) / x / lnx = 1

第二章 同余

同余

剩余类

Ca = { c c∈Z，c ≡ a (mod m) }

Ca 叫做模 m 的剩余类，c 叫做该类的剩余

完全剩余系

r0，r1，… ，rm-1 是模 m 的完全剩余系充要条件：r 的模 m 两两不同余

两个模的完全剩余系

(m1, m2) = 1，若 k1、k2 遍历模 m1、m2 的完全剩余系

则 k1·m2 + k2·m1 也遍历模 m1、m2 的完全剩余系

多个模的完全剩余系

(m1, … , mx) = 1，若 ki 遍历模 mi 的完全剩余系

则 k1(m2m3…mx) + k2(m1m3…mx) + … + kx(m1m2…mx-1) 也遍历模 mi 的完全剩余系

欧拉函数

整数 1, 2, … , m-1 中与 m 互素的个数叫做欧拉函数，记作：φ(m)

例如：m = 10，则 1, 3, 7, 9 与 10 互素，φ(m) = 4

欧拉函数性质

φ(mn) = φ(m) φ(n)

若 p、q 是素数，则 φ(pq) = pq - p - q + 1

若 m = p1^α1 … pk^αk

也就是

简化剩余系

和剩余系概念差不多，但是得和m互素，也就是 φ (x)的具体值

两个模的简化剩余系

(m1, m2) = 1，若 k1、k2 遍历模 m1、m2 的简化剩余系

则 k1·m2 + k2·m1 也遍历模 m1、m2 的简化剩余系

欧拉定理，费马小定理，Wilson 定理

欧拉定理

费马小定理

也就是说 a^(p-1)≡1(mod p)

Wilson 定理

模模重复平方计算法

先拆解指数，a=1

b不停的平方运算，a根据01进行相乘

第三章 同余式

一次同余式求解

例题

解的个数k

中国剩余定理

通式

对方程组

求M

根据MM‘ ≡1(mod m) 求M’

例题

中国剩余定理的应用

高次同余式的解数和解法

至于解法，特几把烦人，我也没上过课所以不知道课上有没有讲，但好像考纲不考

高次同余式的提升属于是学了就会会了又忘，逆天😭😭😭

素数模的同余式

素数模同余式的简化

先化简

然后直接验算就行

例题

同余式的解数不超过他的次数

需要将多项式变成首1

第四章 二次同余式，平方剩余

一般二次同余式

x ² ≡ a (mod m) ，(a , m) = 1

若同余式有解，则 a 叫做模 m 的平方剩余，否则 a 叫做模 m 的平方非剩余

模为奇素数

x ² ≡ a (mod p) ，(a , p) = 1 ，p 是奇素数

判别条件

并且

(a1 , p) = 1 ，(a2 , p) = 1 ，p 是奇素数
① 若 a1 是模 p 的平方剩余、a2 是模 p 的平方剩余，则 a1 · a2 是模 p 的平方剩余
② 若 a1 是模 p 的平方剩余、a2 是模 p 的平方非剩余，则 a1 · a2 是模 p 的平方非剩余
③ 若 a1 是模 p 的平方非剩余、a2 是模 p 的平方非剩余，则 a1 · a2 是模 p 的平方剩余

勒让德符号

p为奇素数时

对于a==2

对于a!=2，可以用二次互反律和周期性

例题

雅可比符号

当m为合数时

引理

模平方根

剩下的白兰咯~

第五章 原根，指标

定义

若 (a,m) = 1，e 是满足 a^e ≡ 1 (mod m) 的最小正整数
则 e 叫 a 对模 m 的指数，记作 ordm (a)
若 ordm (a) = φ(m)，则 a 叫模 m 的原根

指数性质

指数构造

原根

指标

例题

第八章 群